Icosahedrale symmetrie

Icosahedrale symmetrie is de symmetrie van verschillende regelmatige veelvlakken, dus een vorm van polyhedrale symmetrie. Icosahedraal wordt ook geschreven als icosaedraal of als icosaedrisch, al of niet met trema.

Er zijn twee vormen van icosahedrale symmetrie, maar het gaat in beide gevallen om polyhedrale symmetrie.

• Volledige icosahedrale symmetrie is de symmetrie van onder meer het regelmatige twaalfvlak of dodecaëder, het regelmatige twintigvlak of icosaëder en de als voetbal zeer bekende afgeknotte icosaëder.
• Chirale icosahedrale symmetrie is de symmetrie van onder meer de stompe dodecaëder en de vijfhoekige hexacontaëder. Deze twee lichamen zijn elkaars duale veelvlak. Er komen van beide lichamen twee chirale vormen voor, dus twee verschillende lichamen die wel elkaars spiegelbeeld zijn, maar niet gelijk aan hun eigen spiegelbeeld.

Volledige icosahedrale symmetrie is met spiegeling en heeft symmetriegroep ${\displaystyle I_{h}}$ van orde 120. Chirale icosahedrale symmetrie is zonder spiegeling en heeft symmetriegroep ${\displaystyle I}$ van orde 60.

Beide symmetriegroepen hebben de volgende assen van rotatiesymmetrie met het volgende aantal punten waar ze het oppervlak van een convex object met icosahedrale symmetrie snijden (het aantal assen is steeds de helft):

• 12 van orde 5. Ze gaan in de voorbeelden door de middens van vijfhoeken en tienhoeken, en door hoekpunten waar 5 gelijke hoeken samenkomen.
• 20 van orde 3. Ze gaan in de voorbeelden door de middens van driehoeken en zeshoeken, en door hoekpunten waar 3 gelijke hoeken samenkomen.
• 30 van orde 2. Ze gaan in de voorbeelden door de middens van ribben waar twee gelijke zijvlakken aan elkaar grenzen, de middens van zijvlakken die regelmatige veelhoeken met een even aantal hoeken zijn, de middens van ruiten, en hoekpunten waar vier gelijke hoeken samenkomen.

Het aantal maal de orde is steeds 60, de orde van ${\displaystyle I}$.

De volledige versie heeft verder 15 spiegelvlakken. In termen van de orde van de gepasseerde rotatiepunten volgen de corresponderende grote cirkels de cyclus (525323), twee cycli voor een grote cirkel. Ze gaan gezamenlijk door alle rotatiepunten, en wel zovaak als de orde is. De spiegelvlakken gaan in de voorbeelden loodrecht door de middens van ribben, langs ribben en door hoekpunten. Het fundamenteel domein is de driehoek 235, 1/120 deel van het veelvlak. Het bekijken van het fundamenteel domein kan het overzichtelijker maken om figuren met een bepaalde symmetrie te onderscheiden en vergelijken.

${\displaystyle I}$ is algebraïsch de alternerende groep ${\displaystyle A_{5}}$, de even permutaties van 5 elementen. De 20 hoekpunten van een twaalfvlak kunnen namelijk, op twee manieren, over 5 groepen van 4 worden verdeeld, die elk de hoekpunten vormen van een viervlak. De elementen van ${\displaystyle I}$ corresponderen 1-op-1 met de even permutaties van de 5 tetraëders. ${\displaystyle I_{h}}$ = ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \oplus }$ C_i, dus algebraïsch A₅ × C₂.

Tetrahedrale en octahedrale symmetrie zijn twee andere vormen van polyhedrale symmetrie. Alle zijvlakken van de hier behandelde veelvlakken zijn regelmatige veelhoeken.